Montrer que la série $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=2}\frac{x\exp(-nx)}{\ln n}$$ qui converge simplement sur \({\Bbb R}_+\), converge normalement sur \([a,+\infty]\) pour \(a\gt 0\)

Recherche du \(\sup\)
Étudions \(u_n(x)=xe^{-nx}\)
Alors $$u_n^\prime(x)=e^{-nx}(1-nx)=0\iff x=\frac1n$$
Donc \(0\leqslant u_n(x)\leqslant u_n(\frac1n)=\frac1{en}\)

Convergence de la série numérique sur \({\Bbb R}_+\)
\(\sum^{+\infty}_{n=2}\frac1{en\ln n}\) est une série de Bertrand divergente (on peut vérifier en comparant avec une intégrale et en la calculant par parties), donc \(S\) n'est pas convergente simple sur \({\Bbb R}_+\)

Sur \([a,+\infty]\), on a $$\sup_{x\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert=\frac{ae^{-na}}{\ln n}$$ c'est le terme général d'une série convergente (car \(S\) converge simplement), donc \(S\) converge normalement sur \([a,+\infty]\)

Montrer que la série de fonctions \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}2nxe^{-nx^2}\), qui converge simplement sur \([0,+\infty[\), converge normalement sur \([a,+\infty[\) pour \(a\gt 0\) fixé

Recherche du maximum \(\to\) étude du terme général \(f_n\)
$$\begin{align}&f^\prime_n(x)=0\\ \iff&2ne^{-nx^2}(1-2nx^2)=0\\ \iff& x=\frac1{\sqrt{2n}}&&\quad\text{ car }\; x\geqslant0\end{align}$$

Donner le \(\sup\)
Si \(\frac1{\sqrt{2n}}\leqslant a\iff n\geqslant\frac1{2a^2}\), alors \(f_n\) est décroissante sur \([a,+\infty[\)
Donc $$\sup_{x\in[a,+\infty[}\lvert f_n(x)\rvert=\begin{cases} f_n(\frac1{\sqrt{2n}})&&\text{si}\quad n\lt \frac1{2a^2}\\ f_n(a)&&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Convergence de la somme des \(\sup\)

Soit \(n_a=E(\frac1{2a^2})+1\)
Alors on a : $$\sum_{n=0}^{+\infty}\sup\lvert f_n(x)\rvert=\underbrace{\sum^{n_a-1}_{n=0}f_n\left(\frac1{\sqrt{2n}}\right)}_{\text{nombre fini de termes}}+\underbrace{\sum^{+\infty}_{n=n_a}f_n(a)}_{\text{CV car }S(x)\text{ CVS}}$$

Montrer que la série de fonctions $$f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ converge normalement sur \({\Bbb R}_+\)

Convergence simple via majoration
$$0\leqslant f_n(x)\leqslant\frac1{n^2+1}\underset{+\infty}\sim\frac1{n^2}\quad\text{CV}$$

CVN via recherche du max

De plus \(\forall x,f^\prime_n(x)\lt 0\) et donc $$\sum_{n=0}^{+\infty}\sup\lvert f_n(x)\rvert=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(0)\quad\text{ CV car on a la CVS}$$

Soit la série de fonctions $$f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ converge normalement sur \({\Bbb R}_+\)
Montrer que la série des dérivées associée converge normalement sur tout domaine \([a,+\infty[\), pour \(a\gt 0\)
En déduire que \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(]0,+\infty[\)

Convergence simple via équivalence
$$f^\prime_n(x)=-\frac{n}{n^2+1}e^{-nx}\qquad\lvert f^\prime_n(x)\rvert\sim\frac1ne^{-nx}\quad\text{ CVS}$$

CVN
Soit \(a\gt 0\)
$$\lvert f^\prime_n(x)\rvert\leqslant\frac1ne^{-nx}\leqslant e^{-na}\qquad\forall x\geqslant a$$
donc la série \(\sum f^\prime_n(x)\) converge normalement sur \([a,+\infty[\)

Appliquer le théorème

Donc, par le théorème, \(f\in\mathcal C^1([a,+\infty[)\) \(\forall a\gt 0\) \(\Rightarrow\) \(f\in\mathcal C^1(]0,+\infty[)\) et $$f^\prime(x)=\sum^\infty_{n=0}f_n^\prime(x)$$

Soit la série de fonctions $$f(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ converge normalement sur \({\Bbb R}_+\)
On a \(f^\prime(x)=\sum_n f^\prime_n(x)=\sum_n-\frac{n}{n^2+1}e^{-nx}\in\mathcal C^1(]0,+\infty[)\) converge normalement sur \([a,+\infty[\)
Montrer que \(\lim_{x\to 0}f^\prime(x)=-\infty\)
Indication : observer que la série de \(f^\prime(x)\) est inférieure) sa somme tronquée au rang \(N\), puis utiliser que pour \(0\leqslant x\leqslant\frac{\ln 2}N\), on a \(n\leqslant N\implies\exp(-nx)\geqslant\frac12\), pour prouver que l'on a une inégalité du type $$0\leqslant x\leqslant\frac{\ln2}N\implies f^\prime(x)\leqslant S_N$$

Terme général négatif \(\to\) comparaison avec sommes partielles
On a \(f^\prime\lt 0\) sur \(]0,+\infty[\), donc $$\forall x\gt 0,f^\prime(x)=\sum^\infty_{n=0}f^\prime(x)\leqslant\sum^N_{n=0}f^\prime_n(x)$$

Majorer par qqch indépendant de \(x\)
Soit \(0\leqslant x\leqslant\frac{\ln2}N\)
Alors $$e^{-nx}\geqslant\exp\left(-n\frac{\ln2}N\right)$$

Majorer par qqch indépendant de \(n\)
Et puisque \(0\leqslant n\leqslant N\), $$e^{-nx}\geqslant\exp\left(-\cancel N\frac{\ln2}{\cancel N}\right)=\frac12$$

En déduire une majoration de la somme partielle
Donc $$f^\prime(x)\leqslant-\frac12\sum^N_{n=0}\frac n{n^2+1}\qquad \forall0\leqslant x\leqslant\frac{\ln2}N$$

Conclure par divergence de la série et par le lien entre \(x\) et \(N\)

\(0\leqslant x\leqslant\frac{\ln2}N\iff N\leqslant\frac{\ln2}x\)
On pose \(N_x=E(\frac{\ln2}x)\leqslant\frac{\ln2}x\)
Alors $$\forall x\gt 0, f^\prime(x)\leqslant\underbrace{-\frac12\sum^{N_x}_{n=0}\frac n{n^2+1}}_{\to-\infty\text{ car }N_x\to+\infty \text{ quand }x\to0}$$ et donc, quand \(x\to0,x\gt 0\) : $$\underset{x\gt 0}{\lim_{x\to0}}f^\prime(x)=-\infty$$